안녕하세요.
여의도 수학학원에서 10년 넘게 학생들의
고장난 수학 공부법을 고치고 있는
유니원수학의 동혁쌤입니다.
중2 수학에서 삼각형의 외심은 처음 공부할 때 외워야 할 내용이 많은 단원처럼 보입니다.
하지만 외심은 여러 공식을 따로 외우는 단원이 아닙니다.
딱 하나만 제대로 이해하면 됩니다.
수직이등분선입니다.
이 원리를 이해하면 외심의 위치, 직각삼각형의 외심, 외접원의 반지름, 각도 문제까지 자연스럽게 연결됩니다.
깨진 토기로 원래 그릇의 크기를 알 수 있을까?
박물관에 가면 일부만 남아 있는 옛날 토기가 원래 모습에 가깝게 복원되어 있는 것을 볼 수 있습니다.
둥근 테두리가 조금밖에 남아 있지 않은데 어떻게 원래 그릇의 크기를 알아낼 수 있을까요?
남아 있는 테두리 위에 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 잡으면 됩니다.
이 세 점을 동시에 지나는 원은 단 하나만 존재합니다.
그 원의 중심을 찾으면 반지름을 알 수 있고, 반지름을 이용하면 원래 그릇의 크기도 추정할 수 있습니다.
바로 이 원의 중심이 중2 수학에서 배우는 외심과 같은 원리입니다.
삼각형의 외심이란?
삼각형 ABC의 세 꼭짓점 A, B, C를 모두 지나는 원을 외접원이라고 합니다.
그리고 외접원의 중심을 외심이라고 합니다.
외심을 O라고 하면
OA = OB = OC
가 성립합니다.
세 선분은 모두 같은 원의 반지름이기 때문입니다.
따라서 외심 문제를 풀다가 O와 세 꼭짓점이 연결되어 있다면 가장 먼저
OA = OB = OC
를 생각해야 합니다.
외심은 왜 수직이등분선의 교점일까?
여기서 외심의 가장 중요한 원리가 등장합니다.
두 점에서 같은 거리에 있는 점은 두 점을 이은 선분의 수직이등분선 위에 있습니다.
외심 O에서는
OA = OB
이므로 O는 변 AB의 수직이등분선 위에 있습니다.
또
OB = OC
이므로 변 BC의 수직이등분선 위에 있습니다.
그리고
OC = OA
이므로 변 CA의 수직이등분선 위에도 있습니다.
결국 삼각형 세 변의 수직이등분선은 한 점에서 만나며 그 교점이 외심입니다.
여기서 한 단계 더 생각해 봅시다.
AB와 BC의 수직이등분선의 교점을 O라고 하면
OA = OB,
OB = OC
이므로
OA = OC
도 성립합니다.
따라서 O는 자동으로 AC의 수직이등분선 위에도 놓입니다.
이것이 세 수직이등분선이 한 점에서 만나는 이유입니다.
삼각형에 따라 외심의 위치가 달라진다
중2 외심 시험에서 반드시 기억해야 하는 내용입니다.
예각삼각형 → 삼각형 내부
직각삼각형 → 빗변의 중점
둔각삼각형 → 삼각형 외부
특히 중요한 것은 직각삼각형입니다.
직각삼각형에서는 빗변의 중점이 외심이 됩니다.
따라서 빗변의 길이가 12라면 외접원의 반지름은
12 ÷ 2 = 6
입니다.
즉,
직각삼각형의 외접원 반지름 = 빗변 길이 ÷ 2
입니다.
문제에서 직각삼각형과 빗변의 중점이 함께 등장한다면 외심을 바로 떠올려야 합니다.
외심 각도 문제는 어떻게 풀까?
외심 O에서
OA = OB = OC
이므로 △OAB, △OBC, △OCA에서는 각각 이등변삼각형을 찾을 수 있습니다.
따라서 외심의 각도 문제는
반지름이 같은 선분 찾기
→ 이등변삼각형 찾기
→ 같은 밑각 찾기
→ 삼각형의 내각의 합 이용하기
순서로 접근하면 좋습니다.
또 하나 중요한 관계가 있습니다.
같은 호 BC를 보는 중심각과 원주각에서는
∠BOC = 2∠BAC
의 관계가 성립합니다.
다만 무조건 그림에 보이는 작은 ∠BOC를 2∠BAC으로 계산하면 안 됩니다.
특히 둔각삼각형에서는 외심이 삼각형 밖에 있기 때문에 어느 호를 기준으로 중심각과 원주각을 보고 있는지 정확하게 확인해야 합니다.
헷갈린다면 OA = OB = OC에서 출발해 이등변삼각형의 각을 하나씩 구하는 것이 안전합니다.
외심과 내심은 무엇이 다를까?
학생들이 시험에서 자주 혼동하는 부분입니다.
외심에서 같은 것은 세 꼭짓점까지의 거리입니다.
OA = OB = OC
그리고 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다.
반면 내심에서 같은 것은 세 변까지의 수직거리이고, 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점입니다.
따라서 이렇게 연결하면 쉽습니다.
외심 → 꼭짓점 → 수직이등분선
내심 → 변 → 각의 이등분선
중2 외심, 결국 하나의 원리입니다
삼각형의 외심에서 반드시 기억해야 할 핵심은 다음과 같습니다.
외심 = 세 변의 수직이등분선의 교점
OA = OB = OC
예각삼각형의 외심 = 내부
직각삼각형의 외심 = 빗변의 중점
둔각삼각형의 외심 = 외부
같은 호를 보는 중심각 = 원주각의 2배
하지만 이것들을 각각 따로 암기하는 것보다 더 중요한 것이 있습니다.
왜 그런지를 설명할 수 있어야 합니다.
두 점에서 같은 거리
→ 수직이등분선
→ 세 수직이등분선의 교점
→ 세 꼭짓점까지 같은 거리
→ 외접원의 중심
이 흐름이 머릿속에 연결되면 외심 문제에서 외워야 할 내용이 크게 줄어듭니다.
유니원수학에서는 공식을 먼저 외우게 하기보다 하나의 성질이 어디에서 시작되고 다음 성질로 어떻게 이어지는지를 학생이 직접 설명할 수 있도록 지도합니다.
문제 100개의 풀이를 기억하는 것보다 하나의 원리를 제대로 이해하는 것이 처음 보는 문제를 해결하는 데 훨씬 강한 힘이 됩니다.
노력은 결코 배반하지 않는다.